Hoe kun je de bolling van de aarde uitrekenen of aantonen?
- Straal en diameter
- Op welke afstand ligt de horizon?
- Hoe hoog moet je staan om een afstand te kunnen kijken?
- Hoeveel bolling per kilometer?
- Hoe kun je zelf de bolling van de aarde aantonen?
Wat we al op de basisschool leren is dat aarde bijna zo rond is als een voetbal en in vierentwintig uur 'een keer' om haar as draait.
Ondanks het feit dat we de bolling in het dagelijkse leven praktisch niet kunnen zien of merken, is het er wel. Hoe kan men theoretisch op basis van de straal de bolling van de aarde uitrekenen, op welke afstand moet de horizon liggen en wat zijn de tips om zelf de bolling van de aarde in het veld aan te tonen?
De omtrek van de aarde is zo'n 40.000 km, dat betekent dat na 40.000 km in een rechtelijn hebt gelopen, in welke richting dan ook, je een kromming van 360 graden hebt voltooid.
Als je dus een gedeelte van die 40.000 km aflegt, leg je dus een *evenredig* gedeelte van die kromming van 360 graden af.
- 1 km: kromming = 1/40000 * 360 = ..
- 10 km: kromming = 10/40000 * 360 = ..
- 100 km: kromming = 100/40000 * 360 = ..
Video: Turning Torso (190m tall) - seen from 25km - 50km
Straal en diameter
De aarde heeft een gemiddelde diameter van 12742 km en dat houdt een straal van 6371 km in. Voor onze beleving is dit een vrij grote afstand en dus zou het praktisch onmogelijk moeten zijn om de bolling of kromming van de aarde te kunnen zien of te ervaren. Hoe kan men de afstand tot de horizon berekenen, hoe rekent men de bolling van de aarde uit en hoe kan men zelf de bolling aantonen?
Op welke afstand ligt de horizon?
Hoe ver een persoon om zich heen kan kijken hangt af van de hoogte waarop de waarnemer zich bevindt. Des te hoger men staat des te verder men ziet. Dit heeft te maken met het feit dat men op een hogere positie eenvoudiger om de bolling van de aarde kan kijken. In de schematisatie kan men constateren dat men vanaf ooghoogte of lenshoogte tot de werkelijke horizon kan kijken. Wil men dan verder kijken dan moet men of hoger gaan staan, of naar dat punt toe bewegen. De afstand tot de horizon kan men als volgt uitrekenen:
- ABC formule = a^2+b^2 = c^2 en dit vertaalt zich conform de schematisatie in;
- b^2+R^2 = (R+x)^2;
- b = de afstand van de waarnemer tot de horizon;
- R = straal van de aarde = 6371 km;
- b = √[(R+x)^2-R^2].
Stel men staat langs de waterlijn (strand) met de voeten net in het water. De ooghoogte zit op 1,80 m, hoe ver is het dan tot de horizon? B = √[(6371000+1,80)^2-6371000^2] = 4789 m = 4,789 km. Stelt men daarentegen een statief met een lens op, op een hoogte van 0,6 m dan treft men de horizon reeds op b = √[(6371000+0,60)^2-6371000^2] = 2,765 km aan.
Hoe hoog moet je staan om een afstand te kunnen kijken?
Des te hoger men staat, des te verder men kan kijken. Maar stel men wil bijvoorbeeld een x-aantal kilometers ver zien, hoe hoog moet men dan staan? Om deze vraag te kunnen beantwoorden, moet voorgaande formule worden herschreven.
- b^2+R^2 = (R+x)^2 = (R+x)*(R+x);
- b^2+R^2 = R^2+2*R*x+x^2;
- b^2 = 2*R*x+x^2;
- x^2+2*R*x–b^2 = 0 (oplossen met de wortelformule);
- wortelformule = x1,2 = ooghoogte = [-b +/- √(b^2-4*a*c)]/(2*a).
In dit geval is a=1, b= 2*R = D = 2*6371 = 12742, c = b^2 = afstand tot de horizon gekwadrateerd. Oftewel dan geldt het volgende:
x = [-12742+√(12742^2–4*1*- b^2)] / (2*1) = [-12742 + √(12742^2+4*b^2)] / 2; stel we willen 10 km ver zien dan geldt b = 10 oftewel; x = [-12742+√(12742^2+4*10^2)] / 2 = 0,0078 km = 7,8 m.
De ogen moeten in dit geval op 7,8 m hoogte zitten om 10 km ver te kunnen zien.
Hoeveel bolling per kilometer?
Om te achterhalen hoeveel bolling er per kilometer sprake is, moet de x worden achterhaald. In dit geval is de x niet de ooghoogte, maar wordt het gelijkgesteld aan de daling vanaf waar wij staan. Oftewel dan geldt het volgende:
- b^2+R^2 = (R+x)^2;
- R+x = √(b^2+R^2);
- x = √(b^2+R^2) – R;
- x = √(1000^2+6371000^2)–6371000 = 0,0785 m = 7,85 cm.
Iedere kilometer is er sprake van een daling van 7,85 cm. Er is eveneens een hoekverdraaiing van toepassing, waardoor de opgetelde waarde van de daling toeneemt. In de volgende tabel is duidelijk zichtbaar dat naarmate de afstand groter wordt, de bolling of de mate van daling ook groter wordt. Dit heeft te maken met de hoekverdraaiing en is in de formule vertaald in de kwadratische verhouding.
1km |
2km |
3km |
4km |
5km |
10km |
20km |
50km |
100km |
200km |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7,85cm |
0,31m |
0,70m |
1,25m |
1,96m |
7,85m |
31,39m |
196,19m |
784,75m |
3,14km |
Hoe kun je zelf de bolling van de aarde aantonen?
Het meest directe bewijs dat men zelf kan aandragen omtrent de bolling van de aarde, is te kijken naar de waterspiegel. Bij windstilte (weinig tot geen golven) zal het water strak staan en dus netjes de ronding van de aarde volgen. Met dit gegeven zou men als volgt aan de slag kunnen gaan.
Telescoop
Woont men aan een meer zoals bijvoorbeeld het IJsselmeer, dan kan men van een telescoop of sterke verrekijker gebruikmaken. Stel het toestel op een zekere hoogte waterpas af en meet die hoogte na (hart lens tot bovenkant waterniveau). Bereken met voorgaande formule alwaar in dat geval de horizon moet liggen. Na die horizon kan men objecten lager dan de hoogte van de lens niet meer zien, omdat deze achter de horizon zijn verdwenen. Slechts hogere objecten zijn dan nog zichtbaar.
Vlaggetjes langs de kade
Is er in de nabije omgeving een kaarsrecht kanaal of sloot welke enkele kilometers strekt, dan kan men hier optimaal gebruik van maken. Maak gebruik van latjes met bovenaan een helder vlaggetje. Alle latjes moeten exact dezelfde lengte hebben. Stel de onderkant van het latje exact op het waterniveau en doe dit iedere 500 m over 3 km lengte. Kijkt men dan over de top van de latjes, dan moet er een bolling van toepassing zijn en zal de bovenkant van ieder latje niet in elkaars verlengde liggen.
Met een laser over het water
Een andere methode is door over een uitgestrekt water met een laser te schijnen. Stel die laser (waterpas) bijvoorbeeld op een hoogte van 60 cm boven waterniveau af. Neem een groot stuk karton en streep de hoogte van de laser af. Dit is het herkenningspunt om aan te tonen dat de laser bij een toenemende afstand hoger op het karton verschijnt. Vaar vervolgens van de laser af, om te zien dat het laserpunt qua hoogte toeneemt.